Ключевые ряды Тейлора — Математический анализ I

Горстка рядов Тейлора встречается так часто, что их стоит знать назубок. Их распознавание позволяет раскладывать, приближать и упрощать с лёта, без перевывода коэффициентов каждый раз.

Заметьте паттерны: eˣ использует каждую степень на факториал; sin использует только нечётные степени (нечётная функция), а cos только чётные; геометрический ряд 1/(1−x) — просто все степени с коэффициентом 1.

Ряд равен своей функции только в пределах радиуса сходимости. Для eˣ, sin и cos радиус бесконечен; работают для каждого x. Но 1/(1−x) и ln(1+x) сходятся только при |x| < 1; выйдете за это — ряд расходится в бессмыслицу.

Где это встречается в MLЭти ряды — замкнутая основа бесчисленных выводов в ML. Softmax и log-sum-exp опираются на ряд eˣ; геометрический ряд 1/(1−γ) даёт ценность бесконечного дисконтированного потока наград в обучении с подкреплением; а ln(1+x) появляется в лог-правдоподобиях и стабильных реализациях вроде log1p. Распознавание ряда — как вы упрощаете эти выражения вручную.