Геометрия якобиана — Математический анализ II

Сделайте якобиан квадратным (n входов, n выходов) — и его определитель приобретает конкретный геометрический смысл. Из линейной алгебры мы знаем: определитель матрицы — это множитель, на который она масштабирует объём. Определитель якобиана говорит, насколько отображение растягивает или сжимает крошечный участок пространства, когда тот проходит сквозь него.

Если |det J| > 1, маленький кубик входного пространства выходит больше — значит, отображение расширяет. Если |det J| , он выходит меньше — значит, отображение сжимает. Если det J = 0, кубик сплющивается в плоскость: отображение схлопывает измерение и локально необратимо.

Нарисуйте крошечный квадрат на листе эластичной резины, затем потяните лист, чтобы исказить сетку. Определитель Якоби — это единственное число, которое говорит вам, насколько площадь этого маленького квадрата увеличилась или уменьшилась при растяжении. Потяните резину в обе стороны, и квадрат раздуется; сожмите его в одну складку, и его площадь упадет до нуля.

Где это встречается в MLДопустим, вы хотите изогнуть простой гауссиан в сложное распределение данных. Нормализующий поток делает именно это: он обучает обратимое отображение g из простой плотности в сложную. Когда g растягивает пространство, вероятностная масса утекала бы, если бы вы её не перемасштабировали, поэтому формула замены переменных p_X(x) = p_Z(g⁻¹(x))·|det J| использует определитель якобиана, чтобы суммарная…