Многомерный анализ с первых принципов
Как у 1D-функции есть вторая производная, у многомерной функции есть частные второго порядка. Дифференцируете дважды. Новое — что каждый раз можно выбирать, по какой переменной дифференцировать, и при смешивании происходит нечто опрятное.
Чистые вторые ∂²f/∂x² и ∂²f/∂y² измеряют кривизну вдоль каждой оси. Смешанная частная ∂²f/∂x∂y дифференцирует сначала по y, затем по x; она измеряет, как наклон в одном направлении меняется при движении в другом.
Первая частная производная говорит вам о крутизне склона; вторая частная производная говорит вам о том, как сама эта крутизна меняется по мере вашего движения, что является кривизной уклона. Идя на восток, продолжает ли земля становиться круче или начинает выравниваться? Этот изгиб восточного уклона ∂f/∂x, по мере того как вы продвигаетесь дальше на восток, есть вторая частная производная ∂²f/∂x², кривизна холма вдоль этого направления.