Обратная матрица — Линейная алгебра

Геометрия и алгебра линейных отображений, векторов и матриц

Обратная A⁻¹ — преобразование, которое отменяет A. Примените A, затем A⁻¹, и каждый вектор возвращается домой: A⁻¹A = AA⁻¹ = I. Если A поворачивает на 30°, обратная поворачивает обратно на 30°; если A удваивает длины, обратная делит их пополам.

Не каждую матрицу можно отменить. Обратная существует только когда A полного ранга, equivalently когда её определитель ненулевой. Причина геометрична: если A сплющивает пространство (схлопывая направление в ноль, как низкоранговая матрица), информация уничтожается и восстановить её нельзя. Такая матрица сингулярная.

Для 2×2 матрицы есть запоминающаяся замкнутая форма. Поменяйте местами диагональ, смените знак внедиагональных, разделите на определитель:

Где это встречается в MLОбратная концептуально центральна, но практически избегается. Нормальные уравнения регрессии записываются β = (XᵀX)⁻¹Xᵀy, но реальные решатели никогда не формируют эту обратную; они решают систему напрямую, потому что обращение дорого и численно хрупко. Знание, когда матрица обратима (полный ранг), говорит, корректна ли ваша задача или вырождена.