Геометрия и алгебра линейных отображений, векторов и матриц
Диагонализация переписывает матрицу в её собственной наиболее естественной системе координат, построенной из собственных векторов. В этой системе матрица диагональна: она лишь масштабирует каждую собственную ось на её собственное значение. Запутанное преобразование становится простым.
Здесь P содержит собственные векторы как столбцы, D диагональна с собственными значениями. Читайте произведение справа налево как трёхшаговый рецепт: P⁻¹ поворачивает в собственные координаты, D масштабирует каждую ось, P поворачивает обратно. Запутанное преобразование как чистое растяжение между двумя сменами точки зрения.
Диагонализация делает матричные степени почти бесплатными. Поскольку средние P⁻¹P сокращаются, Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹, а возведение диагональной матрицы в степень — просто возведение каждого диагонального элемента. Никаких повторных умножений матриц.