Геометрия и алгебра линейных отображений, векторов и матриц
Сингулярное разложение делает то, чего не удаётся ни одному другому разложению: каждая матрица, квадратная или прямоугольная, полного ранга или нет, раскладывается на три чистых геометрических куска.
Читайте справа налево: любое линейное отображение — те же три шага: Vᵀ поворачивает вход, выравнивая с правыми осями, Σ (диагональная, с неотрицательными сингулярными значениями σ₁ ≥ σ₂ ≥ …) масштабирует каждую ось, а U поворачивает результат в выходное пространство. Окружность входов всегда отображается в эллипс, а сингулярные значения — длины осей этого эллипса.
На фигуре наблюдайте, как единичная окружность становится эллипсом, полуоси которого — сингулярные значения.