Геометрия и алгебра линейных отображений, векторов и матриц
Скалярное произведение берёт два вектора и возвращает одно число. Рецепт прост: перемножьте соответствующие компоненты и сложите результаты. За этой простой арифметикой стоит геометрический смысл. Скалярное произведение измеряет, насколько две стрелки указывают в одну сторону.
Правая форма — та, на которую стоит опираться. |a| и |b| — длины, θ — угол между стрелками. Знак скалярного произведения мгновенно читает геометрию: положительный означает, что стрелки наклонены в одну сторону (θ < 90°), отрицательный — противоположны (θ > 90°), и ровно ноль — перпендикулярны. Последний случай встречается снова и снова.
Представьте, что вы толкаете тележку для покупок, когда дует ветер. Скалярное произведение вашего толчка и ветра говорит вам, насколько выровнены эти две стрелки: оно велико и positive, когда ветер помогает вам двигаться вперед, равно zero, когда ветер дует прямо поперек вашего пути, не совершая работы, и отрицательно, когда он толкает вас назад. Если рассматривать это как оценку сходства, то большее скалярное произведение просто означает «эти две стрелки больше согласуются».