Геометрия и алгебра линейных отображений, векторов и матриц
Матрица — больше, чем сетка чисел. Это функция, преобразующая пространство: подайте вектор x, и она возвращает новый вектор Ax. На всей плоскости она действует как одно согласованное движение (поворот, растяжение, отражение, сдвиг, проекция), применённое к каждой точке сразу.
Что делает его линейным — уважение к двум векторным операциям: A(x + y) = Ax + Ay и A(cx) = c·Ax. Прямые остаются прямыми, начало координат остаётся на месте, и равномерные сетки переходят в равномерные (возможно, наклонённые) сетки.
Вот как читать матрицу на глаз: её столбцы — куда попадают базисные векторы. Первый столбец — образ [1, 0]; второй — образ [0, 1]. Зная, куда уходят две оси, вы фиксируете всё преобразование, потому что любой другой вектор — их комбинация.