Phép tính đa biến từ nguyên tắc đầu tiên
Hãy làm cho ma trận Jacobi trở thành vuông (n đầu vào, n đầu ra) và định thức của nó đảm nhận một vai trò hình học cụ thể. Từ Đại số tuyến tính, định thức của một ma trận là hệ số mà ma trận đó co giãn thể tích. Định thức Jacobi cho bạn biết ánh xạ kéo giãn hay thu nhỏ một mảng nhỏ của không gian bao nhiêu khi nó đi qua.
Nếu |det J| > 1, một hộp nhỏ của không gian đầu vào trở nên lớn hơn, nên ánh xạ giãn nở. Nếu |det J| , nó nhỏ lại nên ánh xạ co lại. Nếu det J = 0, cái hộp bị ép bẹp: ánh xạ làm sụp một chiều và không thể nghịch đảo cục bộ.
Vẽ một hình vuông nhỏ lên một tấm cao su co giãn, sau đó kéo tấm đó để làm biến dạng lưới. Định thức Jacobian là một số duy nhất cho bạn biết diện tích của hình vuông nhỏ đó tăng lên hay co lại bao nhiêu. Kéo cao su cả hai chiều và các quả bóng vuông; ép nó vào một nếp nhăn duy nhất và diện tích của nó giảm xuống bằng không.