Phép tính đa biến từ nguyên tắc đầu tiên
Bóc tách lan truyền ngược tới phần toán học cốt lõi và bạn sẽ tìm thấy mô-đun này. Quy tắc dây chuyền nhiều biến cho bạn biết cách lấy đạo hàm của hợp các hàm — chính là điều mà một công cụ vi phân tự động (autograd) thực sự làm. Ta bắt đầu với phiên bản vô hướng: một thay đổi ở đầu vào lan truyền như thế nào qua các biến trung gian đến đầu ra.
Giả sử z phụ thuộc vào các biến trung gian y₁, y₂, …, và các biến này lại phụ thuộc vào đầu vào x. Để tìm z thay đổi thế nào theo một đầu vào, ta lấy tổng trên mọi đường đi từ đầu vào đó đến đầu ra, nhân các đạo hàm dọc theo mỗi đường:
Mỗi số hạng (∂z/∂yₖ)(∂yₖ/∂xᵢ) là đóng góp của một đường đi; bạn cộng tất cả các đường lại. Nếu chỉ có một đường, nó trở về đúng quy tắc dây chuyền một biến quen thuộc.