Phép tính đa biến từ nguyên tắc đầu tiên
Tối ưu hóa trong không gian nhiều chiều bắt đầu đúng ở chỗ trường hợp một chiều bắt đầu: tìm nơi độ dốc bằng 0. Nhưng giờ 'độ dốc' là cả vectơ gradient, nên một điểm tới hạn là nơi mọi đạo hàm riêng đồng thời triệt tiêu, ∇f = 0.
Đây là điều kiện cần nhưng chưa đủ: gradient bằng 0 đánh dấu một cực tiểu, cực đại hoặc điểm yên ngựa. Để phân biệt chúng, bạn đưa Hessian vào và đọc dấu các giá trị riêng của nó — phép thử bậc hai từ Bài 13. Gradient bằng 0 định vị ứng viên; Hessian phân loại nó.
Đi bộ trên một sân gôn có đồi núi và tìm kiếm những điểm bằng phẳng, những nơi mà quả bóng có thể nằm yên. Điểm phát bóng trên đỉnh đồi, điểm xanh thấp trong vùng trũng và điểm yên phẳng dọc theo sườn núi đều là những điểm mà mặt đất tạm thời bằng phẳng theo mọi hướng. Độ phẳng đó là ∇f = 0; việc bạn đang ở trên đỉnh, trong chỗ trũng hay trên yên ngựa là một câu hỏi riêng biệt mà câu trả lời của Hessian.