Toán học của sự không chắc chắn
Những kết quả như "ra mặt ngửa" hay "lá bài đỏ thứ ba" rất khó để tính toán trên đó. Biến ngẫu nhiên khắc phục điều đó: nó là một quy tắc gán một con số cho mỗi kết quả. Một cách hình thức, X: Ω → ℝ. Hãy tung ba đồng xu và để X đếm số mặt ngửa. Bây giờ mỗi kết quả ánh xạ tới 0, 1, 2 hoặc 3, và ta có thể lấy trung bình, bình phương và lấy tổng.
Một bánh xe lễ hội rơi vào các ô màu và mỗi màu sẽ trả một số tiền khác nhau: một con số được gắn vào mỗi kết quả. Con số đó là một biến ngẫu nhiên X, số tiền bạn giành được trong một lần quay. Việc liệt kê tần suất xuất hiện của mỗi khoản thanh toán, p(x) = P(X = x), cho bạn biết toàn bộ mức thưởng của bạn.
Với một biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm khối lượng xác suất p(x) = P(X = x) liệt kê xác suất của từng giá trị. Nó phải không âm và có tổng bằng 1 trên toàn tập giá trị — đây chỉ là các tiên đề được phát biểu lại trên các con số.