Hessian 的几何意义

从第一性原理出发的多变量微积分

Hessian 的特征值把“这是哪种临界点？”这个模糊问题变成一张清晰的检查表。在梯度为零的点处，Hessian 特征值的符号告诉你自己是在碗里、穹顶上，还是在鞍点处。

这就是多变量二阶导数测试，也是对一维情形的直接推广：在一维中，f″ > 0 表示最小值，f″ 表示最大值。Hessian 的特征值就是多个方向上对应的那些数。

想象三种零食。一碗汤无论你向哪个方向倾斜它都向上弯曲，一个冰淇淋圆顶在任何地方都向下弯曲，而品客薯片沿着它的长度向上弯曲，但穿过它的宽度向下弯曲。海森矩阵的特征值仅仅是沿着这些特殊方向的曲率：相同的符号意味着碗或圆顶，相反的符号（例如 2 和 −2）意味着薯片，即马鞍。