链式法则：矩阵形式

从第一性原理出发的多变量微积分

对路径求和的公式，其实就是把矩阵乘法逐项写开。函数是向量值时，链式法则会压缩成一个干净的 Jacobian 乘积；这也是实际自动微分系统使用的形式。

对复合 f ∘ g，整体的 Jacobian 等于外层映射的 Jacobian（在内层输出处取值）乘以内层映射的 Jacobian：

形状检查会让这件事变得清楚。如果 g: Rⁿ → Rᵏ 且 f: Rᵏ → Rᵐ，那么 J_g 是 k×n，J_f 是 m×k，它们的乘积是 m×n，正好是整体映射 Rⁿ → Rᵐ 所要求的形状。内部维度 k 抵消，就像普通矩阵乘法一样。