矩阵逆

线性映射、向量与矩阵的几何与代数

逆矩阵 A⁻¹ 是会撤销 A 的变换。先应用 A，再应用 A⁻¹，每个向量都会回家：A⁻¹A = AA⁻¹ = I。如果 A 旋转 30°，它的逆就旋转回 30°；如果 A 把长度加倍，它的逆就把长度减半。

不是每个矩阵都能撤销。只有当 A 是满秩时，等价地当它的行列式非零时，逆才存在。几何原因是：如果 A 把空间压扁（像低秩矩阵那样把某个方向压成零），信息已经被破坏，就无法重建。这样的矩阵叫奇异矩阵。

对于 2×2 矩阵，有一个容易记住的闭式公式。交换对角线元素，给非对角线元素取负，再除以行列式：

在机器学习中的应用逆在概念上很核心，但实践中会避免。回归的正规方程写成 β = (XᵀX)⁻¹Xᵀy，但真实求解器从不形成这个逆；它们直接解线性系统，因为求逆昂贵且数值脆弱。知道一个矩阵何时可逆（满秩），能告诉你问题是否良定或退化。