对角化

线性映射、向量与矩阵的几何与代数

对角化会把矩阵改写到它最自然的坐标系中，也就是由特征向量构成的坐标系。在那个系统里，矩阵是对角的：它只会按特征值缩放每条特征轴。一个纠缠的变换变成了简单变换。

这里 P 的列是特征向量，D 是以特征值为对角线的对角矩阵。从右到左读这个乘积，是三步流程：P⁻¹ 转入特征坐标，D 缩放每条轴，P 再转回去。复杂变换被表达成两个视角变化之间的一次纯拉伸。

对角化让矩阵幂几乎免费。因为中间的 P⁻¹P 会两两抵消，Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹，而对角矩阵的幂只是把每个对角元素取同样的幂。不需要反复做矩阵乘法。