إذا كانت المشتقة الأولى f′ تخبرك بالميل، فماذا تخبرك مشتقة الميل؟ تلك هي المشتقة الثانية f″، وهي تقيس كيف يتغير الميل، وهو ما يمثّل تقعّر المنحنى.
ما عليك إلا أن تشتق مرتين. بالنسبة إلى f(x) = x³: أولًا f′ = 3x²، ثم f″ = 6x. ويمكنك الاستمرار (المشتقة الثالثة، الرابعة) إذ تشتق كلٌّ منها الأخيرة.
إشارة f″ تخبرك بأي اتجاه ينحني المنحنى. إذا كان f″ > 0 يكون المنحنى مقعّرًا لأعلى: يتجوّف نحو الأعلى كالوعاء (∪)، والميل متزايد. وإذا كان f″ < 0 يكون مقعّرًا لأسفل: ينحني كالقبة (∩)، والميل متناقص. والمكان الذي ينقلب فيه التقعّر هو نقطة انقلاب.
أين يظهر هذا في تعلّم الآلةالمشتقة الثانية هي البذرة أحادية البُعد لـمصفوفة هسّه، أي جدول جميع المشتقات الثانية المستخدم في التحسين من الرتبة الثانية (طريقة نيوتن) وفي التحقق مما إذا كنت قد وجدت نهاية صغرى حقيقية. والتقعّر هو بالضبط التحدُّب (الدروس التالية): f″ ≥ 0 في كل مكان يعني نهاية صغرى عامة واحدة ومشهد تحسين سهل. والحدّ من الرتبة الثانية هو جزء الانحناء في تقريب تايلور.