تكامل ريمان

التفاضل والتكامل أحادي المتغير من المبادئ الأولى

يجيب التكامل عن السؤال المرافق للمشتقّة: ليس "كم يتغيّر هذا بسرعة؟" بل "كم تراكم؟" هندسيًّا، التكامل المحدّد هو المساحة المحصورة بين المنحنى ومحور x.

تخيل رسم مخطط لبركة على ورق رسم بياني وتريد معرفة مساحتها. لا يمكنك ضرب عرض واحد في ارتفاع واحد، لأن الشاطئ ينحني. لذا تقوم بعدّ المربعات الصغيرة التي تقع ضمن المخطط: كلما زادت المربعات، وكانت الشبكة أدق، اقترب عدك من المساحة الحقيقية. مجموع ريمان هو ذلك العد بالضبط، والتكامل هو الرقم الذي يستقر عليه عندما تتقلص المربعات إلى لا شيء.

بالنسبة لمستطيل، المساحة ليست إلّا عرض × ارتفاع. لكنّ المنحنى له قمّة متموّجة — لا ارتفاع وحيد تضرب فيه. كانت فكرة برنارد ريمان: قطّع المنطقة إلى مستطيلات رأسيّة رقيقة، كلٌّ منها قصير بما يكفي ليكون المنحنى مسطّحًا تقريبًا عبره، اجمع مساحاتها، ثمّ استخدم شرائح أرقّ فأرقّ.