نظرية القيمة الأساسية في التفاضل والتكامل — التفاضل والتكامل I

التفاضل والتكامل أحادي المتغير من المبادئ الأولى

هذه هي النظرية التي تربط جميع الدورة معًا. المشتقات والتكاملات، الانحدارات والأماكن، قد تبدو عالمين منفصلين. نظرية القيمة الأساسية في التفاضل والتكامل (FTC) تظهر أنهما هما بالضبط عكسان لبعضهما البعض. التفاضل يلغى التكامل، والعكس صحيح.

حدد دالة مساحة (A) التي تمثل المساحة المتراكمة تحت منحنى A(x) = ∫ₐˣ f(t) dtمن نقطة بداية ثابتة حتىf x. الجزء الأول يقول: معدل نمو تلك المساحة هو بالضبط ارتفاع المنحنى عند الحافة اليمنى:

بشكل عام: عندما تنغص الحافة اليمنى قليلاً، الجزء الجديد من المساحة الذي تم إضافته هو (الارتفاع) × (العرض الصغير) = f(x)·dx. لذا فإن المساحة تتراكم بمعدل f(x). الشكل يوضح كيف تملأ المساحة وتتبع معدل نموها ارتفاع المنحنى.

أين يظهر هذا في تعلّم الآلةنظرية القيمة الأساسية في التفاضل والتكامل هي السبب الذي يجعلنا نتحرك بحرية بين التكثيفات والتراكميات. دالة الكثافة الاحتمالية (PDF) هي المشتقة لدالة التوزيع التراكمي (CDF)، و CDF هو التكامل من PDF: هذا جزء 1 وجزء 2 في العمل. حساب P(a ≤ X ≤ b) = CDF(b) − CDF(a) هو ببساطة جزء 2 لنظرية القيمة الأساسية. كل مرة يحول نموذج كثافة إلى احتمال، فإنه يستخدم هذه النظرية.