الهسّيان

التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات من المبادئ الأولى

جمع التدرج كل المشتقات الأولى. ويجمع الهسّيان كل المشتقات الثانية لدالة قياسية f: Rⁿ → R في مصفوفة. وحيث يعطي التدرج الميل، يعطي الهسّيان التقوّس: كيف يتغير الميل نفسه أثناء تنقّلك.

وفقاً لمبرهنة كليرو (الدرس 6)، Hᵢⱼ = Hⱼᵢ، لذا يكون الهسّيان دائماً متماثلاً للدوال الملساء التي تهمّنا. وهذه هدية: المصفوفات المتماثلة لها قيم ذاتية حقيقية ومتجهات ذاتية متعامدة، وتلك القيم الذاتية هي بالضبط التقوّسات على طول الاتجاهات الرئيسية.

إذا كان التدرج هو عداد سرعة السطح، فإن الهيسية هي لوحة معلومات تقوسه: فهي تبلغ عن كيفية انحناء الانحدار نفسه في كل اتجاه في وقت واحد. يقرأ السطح المنحني لأعلى في كل مكان حولك مثل قاع الوادي؛ والمنحني لأسفل في كل مكان يقرأ كقمة قبة؛ والأعلى من جهة ولأسفل من جهة أخرى هو سرج. تحزم الهيسية كل ذلك في شبكة متماثلة واحدة من المشتقات الثانية.