هندسة اليعقوبي

التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات من المبادئ الأولى

اجعل اليعقوبي مربعاً (n مداخل، n مخارج) فيؤدي محدده مهمة هندسية ملموسة. من الجبر الخطي، محدد مصفوفة هو العامل الذي تقيس به الحجم. ويخبرك محدد اليعقوبي بمقدار تمديد أو تقليص تطبيقٍ ما لرقعة صغيرة من الفضاء أثناء مرورها عبره.

إذا كان |det J| > 1، فإن صندوقاً صغيراً من فضاء الدخل يخرج أكبر، فيكون التطبيق موسّعاً. وإذا كان |det J| ، فإنه يخرج أصغر، فيكون التطبيق مقلّصاً. وإذا كان det J = 0، فإن الصندوق يُسحق مسطحاً: ينهار التطبيق بُعداً ويكون غير قابل للعكس موضعياً.

ارسم مربعاً صغيراً جداً على لوح من المطاط القابل للتمدد، ثم اسحب اللوح لتشويه الشبكة. محدد اليعقوبية هو الرقم الوحيد الذي يخبرك بمقدار نمو أو تقلص مساحة ذلك المربع الصغير في التمدد. اسحب المطاط في كلا الاتجاهين وسينتفخ المربع؛ واسحقه على تجعد واحد وستنخفض مساحته إلى الصفر.