قاعدة السلسلة: التركيب القياسي — التفاضل والتكامل II

التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات من المبادئ الأولى

جرّد الانتشار العكسي إلى رياضياته فتجد هذه الوحدة. تخبرك قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات كيف تشتق تركيباً من الدوال، وهو الشيء الوحيد الذي يفعله محرك الاشتقاق التلقائي فعلاً. نبدأ بالنسخة القياسية: كيف يتموّج تغيّرٌ في دخل واحد عبر متغيرات وسيطة إلى الخرج.

افترض أن z تعتمد على وسائط y₁, y₂, …، التي تعتمد بدورها على المداخل x. لإيجاد كيف تتغير z مع دخل واحد، اجمع على كل مسار من ذلك الدخل إلى الخرج، ضارباً المشتقات على طول كل مسار:

كل حدّ (∂z/∂yₖ)(∂yₖ/∂xᵢ) هو مساهمة مسار واحد؛ وتجمع كل المسارات. وإن كان هناك مسار واحد فقط، فإنها تنهار إلى قاعدة السلسلة أحادية البعد المألوفة.

أين يظهر هذا في تعلّم الآلةهذا الجمع على المسارات هو بالضبط المرور العكسي عبر عقدة واحدة من شبكة. كل وسيط yₖ هو تنشيط عصبون؛ و∂z/∂yₖ هو التدرج المتدفق رجوعاً إليه؛ و∂yₖ/∂xᵢ هو المشتقة الموضعية لتلك العملية. اضرب واجمع، فتكون قد نشرت التدرج خطوة واحدة للوراء. كرّر تلك الخطوة عبر الرسم البياني كله فتكون قد دربت النموذج.