قاعدة السلسلة: الصورة المصفوفية

التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات من المبادئ الأولى

صيغة الجمع على المسارات هي في الحقيقة ضرب مصفوفات مكتوب حداً بحد. وعندما تكون الدوال ذات قيم متجهية، تنهار قاعدة السلسلة إلى جداء نظيف من اليعقوبيات، وهذه هي الصورة التي تشغّل أنظمة الاشتقاق التلقائي الحقيقية.

بالنسبة للتركيب f ∘ g، يعقوبي الكل هو يعقوبي التطبيق الخارجي (محسوباً عند الخرج الداخلي) مضروباً في يعقوبي التطبيق الداخلي:

إن تحقق الشكل هو ما يجعلها تتضح. إذا كانت g: Rⁿ → Rᵏ وf: Rᵏ → Rᵐ، فإن J_g من النوع k×n، وJ_f من النوع m×k، وجداؤهما من النوع m×n، وهو بالضبط الشكل الذي يتطلبه التطبيق الإجمالي Rⁿ → Rᵐ. ويُختصر البُعد الداخلي k، تماماً كما في ضرب المصفوفات العادي.