تايلور متعدد المتغيرات — التفاضل والتكامل II

التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات من المبادئ الأولى

استخدم التقريب الخطي (الدرس 9) التدرج وحده وأعطى مستوى مماس مسطّحاً. أضف الحدّ التالي، ذلك المبني من هيسيان، فتحصل على تقريب تربيعي: مجسّم مكافئ يعانق السطح، فيلتقط انحناءه لا ميله فقط.

اقرأ الأجزاء الثلاثة: f(x) هو الارتفاع، و∇fᵀδ هو التصحيح الخطي (تصحيح الميل)، و½δᵀHδ هو التصحيح التربيعي (تصحيح الانحناء). وذلك الحدّ الأخير هو صيغة تربيعية في الخطوة، أي بالضبط الكائن الذي تتحكّم القيم الذاتية لهيسيان في إشارته.

المستوى المماس المسطح المستقر على سطح منحنٍ يشبه وضع شريحة زجاجية صلبة على عينك: تلامس في نقطة واحدة ولكن تترك فجوات في كل مكان آخر. تؤدي العدسة اللاصقة أداءً أفضل لأنها منحنية لتطابق سطح العين، لتطابق ليس فقط مكان العين بل كيفية انحنائها. يمثل حد الهيسية ½δᵀHδ ذلك التقوس المدمج: فهو يتيح للتقريب معانقة السطح بدلاً من مجرد الاستقرار عليه.

أين يظهر هذا في تعلّم الآلةبدلاً من النزول إلى الأسفل بخطوة تدرج صغيرة في كل مرة، يمكنك مطابقة مجسّم مكافئ مع الخسارة والقفز مباشرة إلى قاعه. تلك هي طريقة نيوتن: تُصغّر التربيعي الموضعي بالضبط، فتخطو δ = −H⁻¹∇f، وتتقارب أسرع بكثير من النزول التدرجي البسيط عندما يتباين الانحناء كثيراً. Adam ورفاقها يلاحقون تصحيح الانحناء نفسه بثمن زهيد، لكل معامل على حدة، دون أن يشكّلوا أبداً هيسيان الكامل (الهائل).