التكاملات الثنائية — التفاضل والتكامل II

التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات من المبادئ الأولى

التكامل الأحادي قاس المساحة تحت منحنى. أما التكامل الثنائي فيقيس الحجم تحت سطح. غطِّ منطقة من المستوى ببلاطات صغيرة، اضرب مساحة كل بلاطة في ارتفاع السطح فوقها، اجمعها، ثم صغّر البلاطات. إنها فكرة مجموع ريمان مرفوعة إلى بُعد إضافي واحد.

تحسبه بـالتكامل المتكرّر: كامل بالنسبة لمتغيّر، ثم بالنسبة للآخر. مبرهنة فوبيني هي ما يجعل هذا عملياً، إذ يمكنك بالنسبة للدوال المتصلة أن تكامل بأي ترتيب وتحصل على الجواب نفسه.

تخيل قياس إجمالي الأمطار المتساقطة المقبوضة على حقل كامل. تهطل الأمطار بشكل غير متساوٍ، أثقل بالقرب من زاوية، وأخف في أخرى، لذا تقوم ذهنياً بتقطيع الحقل إلى مربعات صغيرة، وتضرب مساحة كل مربع في عمق هطول الأمطار المحلي هناك، وتجمع كل رقعة. ترك الرقع تتقلص يحول ذلك المجموع إلى التكامل المزدوج للعمق f(x, y) فوق الحقل.

أين يظهر هذا في تعلّم الآلةكلما حسبت متوسط شيء ما على متغيّرين عشوائيين في آنٍ واحد، فأنت تحسب تكاملاً ثنائياً: E[f(X, Y)] = ∬ f(x, y) p(x, y) dx dy. وحرية فوبيني في تبديل الترتيب هي بالضبط ما يتيح لك التهميش، أي إخراج متغيّر بالتكامل لاستعادة توزيع الآخر. كل توقّع مشترك وكل كثافة هامشية في نموذج احتمالي هو واحد من هذه التكاملات، يُقدَّر عملياً غالباً بمعاينة مونت كارلو.