المشتقات الجزئية من رتبة أعلى

التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات من المبادئ الأولى

كما أن للدالة أحادية البُعد مشتقة ثانية، فإن للدالة متعددة المتغيرات مشتقات جزئية من الرتبة الثانية. تشتقّ مرتين. والطيّة الجديدة هي أنك صرت تختار بأي متغير تشتقّ في كل مرة، ويحدث شيء أنيق عندما تمزجها.

المشتقات الجزئية الثانية الصرفة ∂²f/∂x² و ∂²f/∂y² تقيس الانحناء على امتداد كل محور. أما المشتقة الجزئية المختلطة ∂²f/∂x∂y فتشتقّ أولاً بالنسبة لـ y، ثم بالنسبة لـ x؛ وهي تقيس كيف يتغير الميل في اتجاه ما كلما تحركت في الاتجاه الآخر.

تخبرك المشتقة الجزئية الأولى بمدى انحدار سفح التل؛ بينما تخبرك المشتقة الجزئية الثانية كيف يتغير هذا الانحدار نفسه أثناء حركتك، وهو ما يمثل تقوس الانحدار. أثناء المشي شرقاً، هل تستمر الأرض في الانحدار أم تبدأ في الاستواء؟ هذا الانحناء للانحدار الشرقي ∂f/∂x أثناء تقدمك أكثر نحو الشرق هو المشتقة الجزئية الثانية ∂²f/∂x²، وهو انحناء التل على طول ذلك الاتجاه.