المشتقات الجزئية

التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات من المبادئ الأولى

فكرة واحدة تحمل معظم حساب التفاضل لعدة متغيرات: لاشتقاق دالة لعدة متغيرات، غيّر متغيراً واحداً فقط في كل مرة وجمّد البقية كلها. أبقِ y ساكناً، وهزّ x، واسأل كيف يستجيب f. ذلك معدل التغير هو المشتقة الجزئية ∂f/∂x.

العلامة المجعّدة ∂ ("جزئي") هي الترميز الجديد الوحيد. وكل شيء آخر هو اشتقاق المقرّر الأول (قاعدة القوة، قاعدة الجداء، قاعدة السلسلة) مطبَّقٌ كما لو أن المتغيرات المجمَّدة مجرد ثوابت.

قف على سفح تل وسيعتمد الانحدار الذي تشعر به على الاتجاه الذي تواجهه. امش باتجاه الشرق تماماً، مع تثبيت موضعك شمال-جنوب، وسيكون الانحدار تحت قدميك هو المشتقة الجزئية ∂f/∂x. استدر وامش باتجاه الشمال بدلاً من ذلك، مع تثبيت موضع شرق-غرب، وستشعر بانحدار مختلف، ∂f/∂y. تقوم كل مشتقة جزئية بتجميد اتجاه واحد وتبلغ عن الارتفاع أو الانخفاض على طول الاتجاه الآخر.