Ax = b: الهندسة — الجبر الخطي · Mathematics for Machine Learning

هندسة وجبر التحويلات الخطية والمتجهات والمصفوفات

المعادلة Ax = b هي الحساب المركزي للجبر الخطي: بمعلومية تحويل A وهدف b، أي مدخل x يصل إلى الهدف؟ اقرأها كهندسة وطبيعة الجواب تصبح مرئية قبل أن تحسب أي شيء.

هناك طريقتان لتصورها. صورة الصفوف: كل معادلة هي خط مستقيم (في بُعدين) أو مستوٍ (في ثلاثة أبعاد)، والحل هو حيث تتقاطع جميعها. صورة الأعمدة: يجب أن يكون b تركيباً خطياً لأعمدة A، وx يحمل أوزان التركيب.

هندسياً هناك ثلاث حالات بالضبط. تتقاطع الخطوط عند نقطة واحدة (حل وحيد)؛ أو تكون متوازية ومتمايزة (لا حل، الأهداف لا تلتقي أبداً)؛ أو تكون الخط نفسه (حلول لا نهائية). اسحب الخطوط في الشكل عبر الحالات الثلاث.

أين يظهر هذا في تعلّم الآلةأنظمة تعلّم الآلة الحقيقية عادةً مفرطة التحديد: معادلات (نقاط بيانات) أكثر بكثير من المجاهيل (المعاملات)، لذا فإن Ax = b بشكل دقيق لا يكون له حل تقريباً أبداً. هذا هو السبب الكامل لـ المربعات الصغرى (درس لاحق). عندما لا تستطيع إصابة b بدقة، أوجد x الذي يقترب أكثر. الانحدار الخطي هو بالضبط هذا الموقف "لا حل دقيق، لذا قلّل الخطأ".