التوزيع الغاوسي متعدد المتغيرات — الاحتمالات

نادرًا ما تكون البيانات الحقيقية رقمًا واحدًا. إنها متجه. يوسّع التوزيع الغاوسي متعدد المتغيرات N(μ, Σ) منحنى الجرس إلى أبعاد كثيرة. يصبح المتوسط متجهًا μ ∈ ℝⁿ (مركز السحابة) ويصبح التباين مصفوفة تغاير Σ (شكل السحابة وميلها).

الأس يعمم الدرجة المعيارية: (x−μ)ᵀΣ⁻¹(x−μ) هي مربع مسافة ماهالانوبيس، المسافة عن المتوسط مقيسة بوحدات تشتت البيانات نفسها. النقاط ذات الكثافة المتساوية تشكّل إهليلجات (مجسمات إهليلجية في الأبعاد الأعلى)؛ مصفوفة التغاير تحدد حجمها وتمددها وميلها.

قطر Σ يحمل تباينات كل إحداثي؛ والعناصر خارج القطر تحمل التغايرات، وتخبرك إن كانت الإحداثيات ترتفع معًا. Σ القطرية تعطي إهليلجات محاذية للمحاور (إحداثيات مستقلة)؛ والعناصر خارج القطر تميلها. يجب أن تكون Σ شبه معرّفة موجبة، إذ لا وجود لتباين سالب في أي اتجاه.

أين يظهر هذا في تعلّم الآلةعندما تجري العملية الغاوسية انحدارًا بأشرطة خطأ مدمجة، فإنها تضع توزيعًا غاوسيًا متعدد المتغيرات على الدوال. السابقة الكامنة في المشفر التلقائي المتغاير هي طبيعي قياسي متعدد المتغيرات N(0, I). تعتمد النماذج ذات المتغيرات الكامنة الغاوسية وجداول الضوضاء في نماذج الانتشار جميعها على حقيقة أن التحويلات الخطية والتوزيعات الشرطية للغاوسيات تبقى غاوسية.