Тест с втората производна — Изчисление I

След като намерите критична точка (където f′ = 0), има по-бърз начин да разберете дали е връх или долина, отколкото да проверявате знаците от двете ѝ страни. Просто проверете изпъкналостта/вдлъбнатостта в тази точка чрез втората производна.

Логиката е проста. В плоска точка, ако кривата се извива нагоре (изпъкнала надолу / вдлъбната нагоре), значи сте на дъното на купа – минимум. Ако се извива надолу (изпъкнала нагоре / вдлъбната надолу), значи сте на върха на купол – максимум.

Представете си, че поставяте топче на плоска част от извита повърхност, след което наливате малко вода. Купа задържа водата и приютява топчето на дъното, това е минимум, извит нагоре. Купол отблъсква водата и оставя топчето да се изтърколи от върха, това е максимум, извит надолу. Втората производна просто ви казва на каква форма стоите.

Къде се използва това в MLТова се обобщава директно до теста на Хесе при оптимизация на много променливи: в точка, където градиентът е нула, положително определената матрица на Хесе (всички собствени стойности са > 0, матричният еквивалент на f″ > 0) показва минимум; отрицателно определената показва максимум; смесените знаци показват седлова точка. Проверката на собствените стойности на матрицата на Хесе е точно този 1-D…