Ключови редове на Тейлър — Изчисление I

Няколко реда на Тейлър се срещат толкова често, че си струва да ги знаете наизуст. Разпознаването им ви позволява веднага да развивате, приближавате и опростявате, без всеки път да извеждате наново коефициентите.

Обърнете внимание на закономерностите: eˣ използва всяка степен, разделена на факториел; sin използва само нечетни степени (тъй като е нечетна функция), а cos – само четни; геометричният ред 1/(1−x) съдържа всички степени с коефициент 1.

Даден ред е равен на своята функция само в рамките на радиуса на сходимост. За eˣ, sin и cos радиусът е безкраен – те работят за всяко x. Но 1/(1−x) и ln(1+x) са сходящи само за |x| < 1; извън този интервал редът е разходящ и губи смисъл.

Къде се използва това в MLТези редове са основата в затворена форма на безброй ML изводи. Функции като softmax и log-sum-exp стъпват върху реда за eˣ; геометричният ред 1/(1−γ) дава стойността на безкраен дисконтиран поток от възнаграждения (discounted reward) при обучението с подкрепление (reinforcement learning); а ln(1+x) се появява при логаритмичните вероятности (log-probabilities) и в числено стабилните реализации…