Многопроменливо смятане от първи принципи
Ако Якобианът е квадратен (n входа, n изхода), неговата детерминанта изпълнява конкретна геометрична роля. От линейната алгебра знаем, че детерминантата на дадена матрица е коефициентът, с който тя мащабира обема. Детерминантата на Якоби показва колко дадено преобразуване разтяга или свива малка част от пространството, когато преминава през него.
Ако |det J| > 1, малка област от входното пространство излиза по-голяма, така че преобразуването я разширява. Ако |det J| , тя излиза по-малка, така че преобразуването я свива. Ако det J = 0, областта се смачква: преобразуването намалява размерността и е локално необратимо.
Нарисувайте малък квадрат върху лист разтеглива гума, след което дръпнете листа, за да изкривите мрежата. Детерминантата на Якоби е единственото число, което ви казва с колко е нараснала или се е свила площта на този малък квадрат при разтягането. Дръпнете гумата в двете посоки и квадратът се издува; смачкайте го в една гънка и площта му пада до нула.