Многопроменливо смятане от първи принципи
Единичният интеграл измерва площта под крива. Двойният интеграл измерва обема под повърхност. Покрийте част от равнината с малки плочки, умножете площта на всяка плочка по височината на повърхността над нея, съберете всичко и накрая смалете плочките. Това е идеята за сумата на Риман, издигната с още едно измерение.
Изчислявате го чрез повторно интегриране: първо по едната променлива, после по другата. Теоремата на Фубини прави това практично, защото за непрекъснати функции можете да интегрирате в произволен ред и да получите един и същ резултат.
Представете си, че измервате общите валежи, събрани над цяло поле. Дъждът вали неравномерно, по-силно близо до един ъгъл, по-слабо в друг, така че мислено нарязвате полето на малки квадрати, умножавате площта на всеки квадрат по локалната дълбочина на валежите там и събирате всяко парче. Позволяването на парчетата да се свият превръща тази сума в двоен интеграл от дълбочината f(x, y) над полето.