Многопроменливо смятане от първи принципи
Добавете още едно измерение и получавате тройния интеграл: вместо да разбивате на плочки двумерна област, запълвате тримерно тяло с малки кутийки, умножавате обема на всяка по стойността на функцията там и сумирате. Механизмът е същият като преди – суми на Риман, следвани от повторно интегриране, като теоремата на Фубини отново ви позволява да избирате реда.
Върху кутия [a,b]×[c,d]×[e,g] това са три вложени единични интеграла: интегрирате по едната променлива, държейки другите фиксирани, после по следващата и накрая по последната. Всяка стъпка е обикновено едномерно интегриране.
Представете си, че теглите пандишпанов кекс, чиято плътност варира от място на място: въздушен близо до върха, по-плътен и влажен към средата. За да получите общата му маса, бихте го нарязали на малки кубчета, бихте умножили малкия обем на всяко кубче по плътността точно там и бихте събрали всяка троха. Свиването на кубчетата превръща тази сума в троен интеграл от плътността f(x, y, z) над кекса.