Многопроменливо смятане от първи принципи
Отблизо всяка гладка повърхност изглежда плоска, както Земята ви се струва плоска под краката ви. Линейното приближение замества кривата функция близо до дадена точка с плоската допирателна равнина, която просто я докосва там. Градиентът определя наклона на тази равнина.
Прочетете го с думи: новата стойност ≈ старата стойност, плюс градиента, скаларно умножен по стъпката, която сте предприели. Това скаларно произведение е производната по посока, умножена по дължината на стъпката – най-доброто линейно предположение за това с колко се е променила f.
Натиснете малък плосък стикер върху плажна топка и точно там, където стои, извитата топка изглежда перфектно плоска. Линейната апроксимация е този стикер: плоска допирателна равнина, която целува повърхността в една точка и замества кривата наблизо. Отдалечете се твърде много по топката и стикерът се отлепва от повърхността — предвиждането се отклонява.