Геометрия и алгебра на линейни приложения, вектори и матрици
Три понятия улавят същността на това, което една матрица действително прави. Пространството на колоните (column space) е всичко, което Ax може да достигне: линейната обвивка (span) на колоните, „областта от стойности“ на матрицата. Рангът е размерността на това пространство — броят на наистина независимите посоки, които A произвежда. А нулевото пространство (null space) е всичко, което A превръща в нула — всички вектори x, за които Ax = 0.
Представете си, че давате упътвания, използвайки ориентири. Ако кажете "тръгнете към кулата" и "тръгнете към близнака на кулата точно до нея", реално сте дали само една истинска посока — втората не добавя нищо ново. Рангът брои колко от посоките на матрицата са наистина независими като тази; всяка посока, която се свежда до липса на каквото и да е движение, принадлежи към нулевото пространство.
Размерностите се подчиняват на ясен баланс, описан в теоремата за ранга и дефекта (rank-nullity theorem): входните размерности се разделят на посоки, които оцеляват (ранг), и посоки, които се схлопват до нула (дефект или nullity).