Геометрия и алгебра на линейни приложения, вектори и матрици
Обратната матрица A⁻¹ е трансформацията, която отменя действието на A. Приложете A, след това A⁻¹, и всеки вектор се връща в началното си положение: A⁻¹A = AA⁻¹ = I. Ако A завърта на 30°, нейната обратна завърта обратно на 30°; ако A удвоява дължините, обратната ѝ ги намалява наполовина.
Не всяка матрица може да бъде отменена. Обратна матрица съществува само когато A има пълен ранг, което е еквивалентно на това детерминантата ѝ да е различна от нула. Причината е геометрична: ако A сплесква пространството (свивайки дадено направление до нула, както прави матрица с непълен ранг), информацията се унищожава и няма как да бъде възстановена. Такава матрица се нарича сингулярна (singular) или изродена.
За матрици 2×2 съществува лесна за запомняне формула в затворен вид. Разменете местата на елементите по главния диагонал, сменете знаците на елементите по второстепенния диагонал и разделете на детерминантата: