Геометрия и алгебра на линейни приложения, вектори и матрици
Диагонализацията пренаписва дадена матрица в нейната най-естествена координатна система — тази, изградена от собствените ѝ вектори. В тази координатна система матрицата е диагонална: тя не прави нищо друго, освен да мащабира всяка собствена ос със съответната ѝ собствена стойност. Една сложна трансформация се превръща в изключително проста.
Тук колоните на матрицата P са собствените вектори, а D е диагонална матрица от собствените стойности. Прочетете произведението отдясно наляво като рецепта в три стъпки: P⁻¹ преобразува в координати, базирани на собствените вектори; D мащабира всяка ос независимо; а P възстановява първоначалните координати. Една сложна трансформация, представена просто като мащабиране, сгушено между две смени на гледната точка.
Диагонализацията прави степенуването на матрици почти безплатно като изчисления. Тъй като вътрешните двойки P⁻¹P се унищожават взаимно, Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹. А повдигането на диагонална матрица на степен се свежда просто до повдигане на всеки диагонален елемент на тази степен. Не е необходимо многократно умножаване на матрици.