Геометрия и алгебра на линейни приложения, вектори и матрици
Всяка квадратична форма xᵀAx приема вектор и връща едно-единствено число, което се променя квадратично спрямо x. Тя е матричният еквивалент на ax². Тъй като x може да сочи във всички възможни направления, тези стойности очертават повърхност, а матрицата A (която се приема за симетрична) определя геометричната форма на тази повърхност.
Нейните собствени стойности представляват кривината по протежение на собствените оси, а техните знаци напълно класифицират повърхността. Ако всички са положителни: имаме купа, отворена нагоре (положително определена) с ясно изразен минимум. Ако всички са отрицателни: имаме купол (отрицателно определена) с максимум. При смесени знаци: имаме седло (неопределена) — повърхност, която се издига в едни направления и се спуска в други.
Превключвайте знаците на собствените стойности на фигурата и наблюдавайте как повърхността се трансформира от купа, през седло, до купол.