Eindimensionale Analysis aus ersten Prinzipien
Anschaulich ist eine Funktion stetig, wenn man sie zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen: keine Löcher, keine Sprünge, keine plötzlichen Ausbrüche. Die genaue Fassung legt das mit dem Grenzwert fest, den Sie gerade gelernt haben: An jedem Punkt muss das, wohin die Funktion strebt, mit dem übereinstimmen, was sie tatsächlich ist.
Drei Dinge müssen zusammenpassen: f(a) existiert, der Grenzwert existiert, und beide sind gleich. Fehlt eines der drei, liegt eine Unstetigkeit vor, und davon gibt es genau drei Arten.
Eine hebbare Unstetigkeit ist ein einzelner fehlender Punkt, ein Loch, an dem der Grenzwert existiert, die Funktion diesen Wert aber ausgelassen hat (wie beim Loch von (x²−4)/(x−2)). Eine Sprungstelle entsteht, wenn der links- und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen, sodass der Graph von einer Höhe zur anderen springt. Eine unendliche Unstetigkeit ist eine senkrechte Asymptote, an der die Funktion gegen ±∞ schießt (wie 1/x bei 0).