Eindimensionale Analysis aus ersten Prinzipien
Ein Grenzwert beantwortet eine sorgfältig gestellte Frage: Wenn sich die Eingabe einem bestimmten Wert a immer weiter annähert, auf welche Zahl pendelt sich dann die Ausgabe ein? Entscheidend ist, dass es nicht darauf ankommt, was bei a passiert; vielleicht ist die Funktion dort gar nicht definiert. Beim Grenzwert geht es um die Annäherung, nicht um das Ziel selbst.
Ziehen Sie die Eingabe in der Abbildung in Richtung a und beobachten Sie, wie sich die Ausgabe auf einen Wert L einpendelt, sogar über eine kleine Lücke hinweg, an der die Funktion keinen eigenen Wert hat.
Sie können sich a von links (Eingaben ein wenig unterhalb von a) oder von rechts (ein wenig oberhalb) nähern. Das sind die beiden einseitigen Grenzwerte. Der vollständige (zweiseitige) Grenzwert existiert nur, wenn beide Seiten dieselbe Zahl ergeben. Wenn die linke Seite auf einen Wert zuläuft und die rechte auf einen anderen, gibt es eine Sprungstelle, und der Grenzwert existiert nicht.