Eindimensionale Analysis aus ersten Prinzipien
Nimm eine Folge und beginne, die Glieder nach und nach aufzusummieren. Nach einem Glied hast du a₁. Nach zwei a₁ + a₂. Nach drei a₁ + a₂ + a₃. Jede dieser laufenden Summen heißt Teilsumme und wird als Sₙ geschrieben – die Summe der ersten n Glieder.
Die Teilsummen bilden ihrerseits eine neue Folge (S₁, S₂, S₃, …), und wir können dieselbe Frage stellen wie in der letzten Lektion: Pendelt sich diese laufende Summe auf einen Grenzwert ein? Wenn ja, nennen wir diesen Grenzwert die Summe der Reihe.
Stelle dir ein Trinkgeldglas vor, das du immer weiter auffüllst: Jede laufende Summe ist eine Partialsumme, das Geld im Glas nach dem neuesten Beitrag. Wenn jeder Beitrag halb so groß ist wie der vorherige — wie das Hinzufügen von 1/2 + 1/4 + 1/8 + … eines Dollars — füllt sich das Glas anfangs schnell, steigt dann kaum noch und schmiegt sich an eine Obergrenze. Diese Obergrenze, die es nie ganz überschreitet, ist die Summe der Reihe, hier genau 1 Dollar.