Eindimensionale Analysis aus ersten Prinzipien
Das Integral beantwortet die Frage, die zur Ableitung gehört: nicht "Wie schnell ändert sich etwas?", sondern "Wie viel hat sich angesammelt?" Geometrisch ist das bestimmte Integral die Fläche, die zwischen einer Kurve und der x-Achse eingeschlossen ist.
Stelle dir vor, du zeichnest den Umriss eines Teichs auf Millimeterpapier und möchtest seine Fläche. Du kannst nicht eine Breite mit einer Höhe multiplizieren, weil das Ufer gekrümmt ist. Also zählst du die kleinen Quadrate, die in den Umriss fallen: Mehr Quadrate, feineres Raster, desto näher kommt deine Zählung der wahren Fläche. Eine Riemannsche Summe ist genau diese Zählung, und das Integral ist die Zahl, auf die sie sich einpendelt, wenn die Quadrate auf nichts zusammenschrumpfen.
Bei einem Rechteck ist die Fläche einfach Breite × Höhe. Eine Kurve hat aber einen welligen oberen Rand – es gibt keine einzelne Höhe, mit der man multiplizieren könnte. Bernhard Riemanns Idee: zerlege das Gebiet in dünne senkrechte Rechtecke, jedes so schmal, dass die Kurve darüber nahezu flach ist, addiere ihre Flächen und verwende dann immer dünnere Streifen.