Eindimensionale Analysis aus ersten Prinzipien
Dies ist der Satz, der den gesamten Kurs zusammenhält. Ableitungen und Integrale, Steigungen und Flächen, wirken wie zwei getrennte Welten. Der Fundamentalsatz der Analysis (FTA) zeigt jedoch, dass sie exakte Umkehrungen voneinander sind: Das Ableiten macht das Integrieren rückgängig und umgekehrt.
Definiere eine Flächenfunktion A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, die mitlaufende Fläche unter f von einem festen Startpunkt bis x. Teil 1 besagt: Die Rate, mit der diese Fläche wächst, ist genau die Höhe der Kurve am rechten Rand:
Anschaulich: Verschiebst du den rechten Rand ein winziges Stück, kommt ein schmaler neuer Flächenstreifen hinzu, dessen Inhalt (Höhe)×(winzige Breite) = f(x)·dx ist. Die Fläche wächst also mit der Rate f(x). Die Abbildung zeigt, wie sich die Fläche füllt und ihre Wachstumsrate der Höhe der Kurve folgt.