Wenn ein Integrand ein Produkt zweier voneinander unabhängiger Funktionen ist, wie x·eˣ, hilft die Substitution meist nicht. Das Werkzeug für Produkte ist die partielle Integration, das integrale Gegenstück zur Produktregel.
Sie ergibt sich direkt aus dem Umkehren der Produktregel. Die Formel tauscht ein Integral gegen ein anderes, hoffentlich einfacheres, ein:
Die Kunst besteht in der Wahl von u und dv. Wählen Sie u als den Teil, der beim Ableiten einfacher wird (damit das übrig bleibende Integral leichter ist), und lassen Sie dv den Teil sein, den Sie integrieren können.
Wo das im ML vorkommtDie partielle Integration ist die Technik hinter den Entropie- und Kreuzentropie-Integralen, die im ML allgegenwärtig sind. Ausdrücke wie ∫ x ln x dx tauchen auf, wenn man die Entropie stetiger Verteilungen berechnet. Sie ist außerdem ein Arbeitspferd beim Herleiten von Erwartungswerten und in der Mathematik hinter der Variationsinferenz, wo ständig Integrale über Produkte von Dichten und…