Eindimensionale Analysis aus ersten Prinzipien
Die Substitution (häufig u-Substitution genannt) ist die Integrationsmethode, die die Kettenregel umkehrt. Wenn ein Integral eine Funktion und eine Kopie ihrer Ableitung enthält, kannst du die verschachtelte, unübersichtliche Komposition durch Umbenennen des inneren Terms in ein sauberes, einfaches Integral zusammenfallen lassen.
Das Rezept: Erkenne eine innere Funktion, nenne sie u = g(x), berechne du = g′(x) dx und schreibe das Integral vollständig in u. Hast du u gut gewählt, ist der Faktor g′(x) dx bereits vorhanden und wird zu du, sodass das Integral trivial wird.
Substitution ist wie das Umtauschen von Geld in eine einfachere Währung, um eine Summe zu bilden, und dann wieder zurückzutauschen. Das Integral ist in seiner ursprünglichen 'Währung' x umständlich, also tauschst du in eine saubere Einheit u, machst dort die leichte Arithmetik und wandelst die Antwort am Ende wieder in x um. Wähle den Wechselkurs weise und die unordentliche Summe verwandelt sich in eine, die du im Kopf lösen kannst.