Eindimensionale Analysis aus ersten Prinzipien
Funktionen verhalten sich wie Vektoren. Sie wissen bereits, dass Sie zwei Pfeile addieren und einen Pfeil mit einer Zahl strecken können. Genau dieselben zwei Dinge können Sie mit Funktionen tun, und fast alles, was Sie über Vektoren wissen, lässt sich direkt übertragen.
Um zwei Funktionen zu addieren, addieren Sie sie punktweise: Für jede Eingabe x ist die Ausgabe der neuen Funktion einfach die Summe der beiden Ausgaben. Um eine Funktion mit einer Zahl c zu skalieren, multiplizieren Sie jede Ausgabe mit c. Genau diese beiden Operationen machen etwas zu einem "Vektorraum".
Stelle dir zwei Audiospuren vor, die gleichzeitig spielen: eine Bassline und eine Melodie. Um sie zu mischen, addierst du die beiden Wellenformen Moment für Moment, genau wie das punktweise Addieren von Funktionen. Und den Lautstärkeregler einer Spur auf 70% zu drehen, ist nur das Skalieren dieser Funktion um 0.7 in jedem Augenblick. Mischen und Lautstärke sind Addition und Skalierung, die beiden Züge, die Funktionen wie Vektoren agieren lassen.