Eindimensionale Analysis aus ersten Prinzipien
Eine Symmetrie in einer Funktion zu erkennen, ist eine echte Abkürzung: Sie halbiert die Arbeit, einen Graphen zu verstehen, ihn zu integrieren oder ihn zu speichern. Es gibt zwei Symmetrien, die man beim Namen kennen sollte, gerade und ungerade, sowie die Idee einer Funktion, die sich wiederholt.
Eine Funktion ist gerade, wenn das Umkehren des Vorzeichens der Eingabe nichts ändert: f(−x) = f(x). Der Graph sieht links und rechts der y-Achse gleich aus, ein perfekter Spiegel. Das Standardbeispiel ist x²: Das Quadrieren beseitigt das Vorzeichen, sodass (−3)² = 3² gilt.
Eine Funktion ist ungerade, wenn das Umkehren des Vorzeichens der Eingabe auch das der Ausgabe umkehrt: f(−x) = −f(x). Der Graph hat eine Drehsymmetrie: Dreht man ihn um 180° um den Ursprung, landet er auf sich selbst. Das Standardbeispiel ist x³, denn (−2)³ = −8 = −(2³).