Mehrdimensionale Analysis aus ersten Prinzipien
Ein einfaches Integral maß die Fläche unter einer Kurve. Das Doppelintegral misst das Volumen unter einer Fläche. Überdecke einen Bereich der Ebene mit winzigen Kacheln, multipliziere die Fläche jeder Kachel mit der Höhe der Fläche darüber, addiere alles auf und lass dann die Kacheln schrumpfen. Es ist die Idee der Riemann-Summe, gehoben in eine weitere Dimension.
Du berechnest es durch iterierte Integration: integriere über die eine Variable, dann über die andere. Der Satz von Fubini ist es, der dies praktikabel macht, denn für stetige Funktionen darfst du in beliebiger Reihenfolge integrieren und erhältst dasselbe Ergebnis.
Stell dir vor, du misst die gesamte Niederschlagsmenge, die über einem ganzen Feld aufgefangen wird. Der Regen fällt ungleichmäßig, an einer Ecke stärker, an einer anderen schwächer. Also zerlegst du das Feld in Gedanken in kleine Quadrate, multiplizierst die Fläche jedes Quadrats mit der lokalen Niederschlagshöhe dort und summierst jedes Stück auf. Wenn man die Stücke schrumpfen lässt, verwandelt sich diese Summe in das Doppelintegral der Höhe f(x, y) über das Feld.