Mehrdimensionale Analysis aus ersten Prinzipien
Füge eine weitere Dimension hinzu, und du hast das Dreifachintegral: Statt einen 2-D-Bereich zu kacheln, füllst du einen 3-D-Körper mit winzigen Kästchen, gewichtest jedes mit dem Funktionswert dort und summierst. Die Maschinerie ist dieselbe wie zuvor – Riemann-Summen, gefolgt von iterierter Integration –, wobei Fubini dir weiterhin die Wahl der Reihenfolge lässt.
Über einen Quader [a,b]×[c,d]×[e,g] sind es drei ineinander geschachtelte einfache Integrale: Integriere über eine Variable und halte die anderen fest, dann über die nächste, dann über die letzte. Jeder Schritt ist gewöhnliche Integration aus Kurs I.
Denke daran, einen Biskuitkuchen zu wiegen, dessen Dichte von Ort zu Ort variiert: luftig in der Nähe der Oberseite, dichter und feuchter zur Mitte hin. Um seine Gesamtmasse zu erhalten, würde man ihn in winzige Würfel schneiden, das kleine Volumen jedes Würfels mit der Dichte genau dort multiplizieren und jeden Krümel addieren. Wenn man die Würfel schrumpfen lässt, verwandelt sich diese Summe in das Dreifachintegral der Dichte f(x, y, z) über den Kuchen.